Differential Galois approach to the non-integrability of the heavy top problem

We study integrability of the Euler-Poisson equations describing the motion of a rigid body with one fixed point in a constant gravity field. Using the Morales-Ramis theory and tools of differential algebra we prove that a symmetric heavy top is integrable only in the classical cases of Euler, Lagrange, and Kovalevskaya and is partially integrable only in the Goryachev-Chaplygin case. Our proof is alternative to that given by Ziglin (Functional Anal. Appl., 17(1):6-17, 1983; Functional Anal. Appl., 31(1):3-9, 1997). RÉSUMÉ. Nous étudions l’intégrabilité des équations de Euler-Poisson qui décrivent le mouvement d’un solide rigide avec un point fixe dans un champ gravitationnel constant. En utilisant la théorie de MoralesRamis et des outils d’algèbre différentielle, nous prouvons qu’un solide symétrique est intégrable seulement dans les cas classiques d’Euler, Lagrange et Kowalevski, et est partiellement intégrable seulement dans le cas Goryatchev-Tchaplygin. Notre preuve est une alternative à celle donnée par Ziglin (Functional Anal. Appl., 17(1):6-17, 1983; Functional Anal. Appl., 31(1):3-9, 1997). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. XIV, n° 1, 2005 (*) Reçu le 2 octobre 2003, accepté le 29 avril 2004 (1) Institute of Astronomy, University of Zielona Gora, Podgorna 50, PL-65-246 Zielona Góra, Poland. E-mail: [email protected] (2) INRIA Projet CAFÉ, 2004, Route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France. (3) Torun Centre for Astronomy, Nicholaus Copernicus University, Gagarina 11, PL87-100 Torun, Poland. E-mail: [email protected]